[도형의 도심 구하기] 삼각형 도심 응용하여 사다리꼴 도심 구하기

안녕하세요. 쏘쏘입니다.

 

도심이란 도형의 일차 모멘트를 면적으로 나눈 것이 도심이라고 교재에서는 말합니다.

정의에 대한 자세한 설명은 생략합니다.

 

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도심을 구하여라? 도형의 무게중심을 구하라는 말입니다. 

사각형의 도심과 삼각형의 도심은 간단합니다. 사각형은 높이/2, 삼각형은 높이/3 입니다.

이를 유도할 수 있는데, 간단한 식이니 일단 외우고 들어갑시다. (이 부분은 별도로 포스팅하겠습니다.)

 

사각형과 삼각형의 도심은 구하기가 쉬운데, T형 단면, 사다리꼴, H형 단면 등등 이런 복합 도형들은 어떻게 구할까요?

 

일단 자신이 정확한 도심의 위치를 알고 있는 도형으로 분리시킵니다.

T형은 ㅡ와 I로 나누면 되겠죠. 사다리꼴은 삼각형 2개, H는 사각형 3개.

이런 식으로 나눕니다. 그런 다음 기준선을 정해서 기준으로부터 각각 나눈 도형의 도심을 더하면 됩니다.

 

말이 쉽지, 직접 해봐야 압니다.  우선 사다리꼴을 하나 그려봅니다.

 

사다리꼴 예시

 

도심은 1차 모멘트를 면적으로 나눈 것이라 하였고, 복합 도형의 도심은 나눠진 도형의 도심을 더하면 된다고 하였습니다.

그래서 도심을 쉽게 구할 수 있는 삼각형 2개로 나누었습니다.

 

 

이제 아래와 같이 도심을 구하기 위한 식을 만들 수 있습니다.

 

도심 공식 정리

 

왼쪽 삼각형의 면적은 bh/2, 오른쪽 삼각형의 면적은ah/2 입니다. 그럼 이제 사다리꼴의 면적은 해결되었습니다.

그럼 일차 모멘트는????  이것은 단순하게 도형의 면적에다가 그 도형의 기준선으로부터 도심까지의 거리를 곱한 것입니다.

 

이제 아래와 같이 도심을 구하는 식을 정리할 수 있습니다.

 

도심 공식

 

그리고 삼각형의 도심은? 앞서 말한 바와 같이 밑변 기준으로 높이의 1/3지점 입니다.

그러나 앞에서 복합 도형의 도심은 기준선을 정한다고 하였습니다. 그렇기 때문에 왼쪽 삼각형, 오른쪽 삼각형의 도심 위치가 서로 다르게 됩니다.

 

삼각형의 도심 위치

 

그럼 이제 기준선을 잡습니다. a를 기준선으로 하셔도 되고, b를 기준선으로 하셔도 됩니다. 저는 기준선을 밑변 b로 잡겠습니다.

 

그럼 왼쪽 삼각형은 면적이 bh/2, 도심은 h/3가 되고, 오른쪽 삼각형은 면적이 ah/2, 도심은 2h/3가 됩니다. (만약 a를 기준선으로 잡게 되면 오른쪽 삼각형의 도심이 h/3가 됩니다.)

 

이제 이것을 위의 식에 대입하여 봅니다.

 

도심 공식 유도

 

위와 같은 식으로 사다리꼴의 도심을 구할 수 있게 됩니다.

 

앞서 말한 바와 같이 T형, H형 도형의 도심을 구할 때에도 이러한 방식으로 구할 수 있습니다.

 

도움이 되셨기를 바라며, 다른 주제로 다시 찾아뵙겠습니다..

 

- by 쏘쏘 -

 

* 포스팅 내용 중 일부가 지워져 3월 25일에 업데이트하였습니다.

 

* 다른 방법으로 도심을 구하는 내용을 3월 30일에  추가로 포스팅하였습니다.

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