[적분 #3] 적분으로 원 넓이 구하기 (원 넓이 공식 유도)

안녕하세요. 쏘쏘입니다.

 

이번 포스팅에서는 적분을 이용하여 원의 넓이 공식을 유도해보겠습니다.

 

어찌 보면 저번 포스팅의 삼각형 넓이 공식 유도보다 더 간단한 내용입니다.

 

그럼 시작하겠습니다.

 

먼저 x-y 좌표계에 반지름이 r인 원을 하나 그리겠습니다.

* 보통 반지름은 r(radius), 지름은 d(diameter)로 표기합니다.

 

 

 

이제 면적을 구하기 위해 위의 그림을 살짝 바꿔보겠습니다.

원의 면적을 구하기 전에 미리 알고 계셔야 할 공식이 원주(원둘레)=2𝛑r 입니다.

2𝛑r을 기억 속에 쏙 저장해두고 시작합시다.

 

* 원주의 공식도 유도가 가능한데,

이를 위해서는 어떤 함수의 곡선 길이를

적분으로 푸는 방법을 먼저 알아야 합니다.

 

제가 능력이 미천해서,,,

 부분을 다루기에는 너무 시간이 부족해서 포스팅을 할지 안 할지 잘 모르겠습니다.

수식이 워낙 많이 들어가서 타이핑이 오래 걸리는 건 둘째 치더라도,

어떻게 이해하기 쉽게 설명할지가 고민입니다.

쉽게 설명할 아이디어가 떠오르면 바로 포스팅할게요.

 

 

그림을 살짝 바꿨습니다.

k는 임의의 반지름이며 그 값은 0에서 r까지입니다.

그리고 미소 면적 dA는 위의 오른쪽 그림처럼 2𝛑k x dk 입니다.

 

이제 dA=2𝛑k x dk를 적분하면 전체 면적 A를 구할 수 있습니다.

 

 

 

 

이렇게 해서 원의 넓이 공식 A=𝛑r^2 구해졌습니다.

 

참고로,

직경 d=2r이므로, r=d/2를 위 공식에 대입하면 A = 𝛑r^2 = 𝛑d^2/4 입니다.

 

다음 포스팅도 최대한 쉽게 설명드리도록 노력하겠습니다.

 

글 읽어 주셔서 감사합니다.

 

- by 쏘쏘 -